किसी समान्तर श्रेढ़ी के p वें ,q वें तथा r वें पद क्रमशः a ,b और स है तो सिद्ध कीजिए की a(q-r)+b(r-p)+c(p-q) =0

 If pth qth and rth term of an ap are a b and c respectively then show that (a-b)r+(b-c)p+(c-a)q=0

solution:-

माना की प्रथम पद =k 

A.P  के p वें पद =k +(p-1)d =a

A.P  के q  वें पद =k +( q-1)d =b

A.P  के r  वें पद =k +(r-1)d =c

L.H.S=

a(q-r) + b (r-p) + c (p-q)

{k+(p-1)d}(q-r)+{k+(q-1)d}(r-p)+{k+(r-1)d}(p-q)

kq-kr+pqd-qd-pdr+dr+kr-kp+qdr-qr-qdp+dp+kp-kq+rdp-dp-rdq+dq

=0 proved

Q.if pth term of an ap is q and qth term is p then show that (p+q)th term is 0.

solution:- Given that

 ap=q  & aq=p

now, 

a+(p-1)d=q

a+(q-1)d=p

after solving,

a=p+q-1

d=-1

ap+q=a+(p+q-1)d

       =p+q-1+(p+q-1)x-1

       =p+q-1-p-q+1

       =p-p+q-q+1-1

       =0 ans