कक्षा 10 प्रश्नावली 9.1
Q.1 सर्कस का एक कलाकार एक 20 m लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :- दिया गया कि समकोण △ABC में,
जहाँ ∟B =90°
और AC= 20m
तथा ∠ACB=30°
प्रश्नानुसार, △ABC में,
sin30°=AB/AC
⇒ 1/2 = AB/(20 m)
⇒ (1/2)×(20 m) = AB
⇒ AB = 10 m
अतः खंभे की ऊँचाई = 10 m उत्तर
Q.2 आँधी आने से पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह से मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30° का कोण बनाता है।पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी,जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8m है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:- स्थिति (1):- आँधी आने से पहले ,
माना कि पेड़ की ऊँचाई = h m
स्थिति(2):- आँधी आने के बाद,
माना कि △ABC एक समकोण त्रिभुज है, जहाँ जहाँ ∟B =90° BC= 8 m
h= AB + AC
और ∠ACB=30°
प्रश्नानुसार,
△ABC में,
tan30°=AB/BC
⇒ 1/√3 = AB/(8 m)
⇒AB= (8/√3)m
फिर,
cos30°=BC/AC
⇒ √3/2 = 8m/AC
⇒AC= (16/√3)m
अतः पेड़ की ऊँचाई =h =AB+AC
= (8/√3)m + (16/√3)m
= {(8 + 16)/√3 }m
=(24/√3) m
=(8×3/√3) m
= (8×√3×√3 /√3) m
= 8√3 m.
अतः पेड़ की ऊँचाई =8√3 m.
Q.3 एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5 m की ऊँचाई पर हों और भूमि के साथ 30° के कोण पर झुका हुआ हो,जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3m की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है,जो भूमि के साथ 60° का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लंबाई क्या होनी चाहिए ?
हल:- स्थिति 1 में,
जब बच्चों के उम्र 5 वर्ष से कम है,तब
माना कि फिसलनपट्टी (AC) की लंबाई =x m
और दिया गया है कि AB =1.5 m
तथा ∠ACB=60°
प्रश्नानुसार, △ABC में, जहाँ ∟B =90°
sin30°=AB/AC
⇒ 1/2 = 1.5/x
⇒ x=1.5 × 2
⇒ x=3
अतः फिसलनपट्टी (AC) की लंबाई =3 m
फिर स्थिति 2 में,
जब बच्चों के उम्र 5 वर्ष से अधिक है,तब
माना कि फिसलनपट्टी ( PR) की लंबाई = y m
और दिया गया है कि PQ =3 m
तथा तथा ∠PRQ =30°
प्रश्नानुसार, △PQR में, जहाँ ∟Q =90°
sin60°=PQ/PR
⇒ √3/2 = 3/y
⇒√3y =3×2
⇒ y =3× 2 /√3
⇒ y = 2√3
अतः फिसलनपट्टी(PR) की लंबाई= 2√3 m .
Q. भूमि के एक बिंदु से,जो मीनार के पाद-बिंदु से 30m की दूरी पर है,मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :- माना कि △ABC में,जहाँ ∟B =90° है
AB =मीनार की ऊँचाई =h m
ㄥACB =30°
प्रश्नानुसार, △ABC में
tan30°=AB/BC
⇒1/√3 = h/30
⇒√3h = 30
⇒h = 30/√3
⇒h = 10×3/√3
⇒h = 10×√3×√3/√3
⇒h = 10√3
अतः मीनार की ऊँचाई = 10√3 m Ans..
Q.5 भूमि से 60 m की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिंदु से बांध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है।यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है,डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल :- माना कि डोरी की लंबाई = l m
∴ sin60°=AB /AC
⇒ √3/2 =60 /l
⇒ √3/2 =60 /l
⇒ √3l =60×2
⇒ √3l =120
⇒ √3l =40×3
⇒ √3l =40×√3×√3
⇒ l =40×√3×√3/√3
⇒ l =40√3 m
अतः डोरी की लंबाई = 40√3 m
Q.6 1.5 m लंबा एक लड़का 30 m ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है।बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूर तक चलकर गया है।
हल:- माना कि A से C की दूरी =AC=BD=x m
तथा E से C की दूरी =EC =FD=y m
तब लड़के दूर भवन की तरफ चली गई दूरी =AC-EC
=x m -y m
=(x-y)m
दिया गया है कि AB=EF=CD =1.5 m
तथा EC =30 m
तब ED=EC -CD
=30 m -1.5 m =28.5 m
और ㄥEBD =30° तथा ㄥEFD =60°
प्रश्नानुसार, ∆EBD में ,∟D =90°
tan30°=ED/BD
⇒1/√3 =28.5/x
⇒ x =28.5√3 m
फिर ∆EFD में ,∟D =90°
tan60°=ED/FD
⇒√3 =28.5/y
⇒ y =(28.5/√3) m
अतः लड़के द्वारा भवन की तरफ तय की गई दूरी=(x-y)m
=(28.5√3 m -(28.5/√3) m }
= 28.5(√3×√3-1)/√3
= 28.5(3-1)/√3
= 28.5×2/√3
=28.5×2×√3/√3×√3
=19√3 m Ans...
Q.7 भूमि के एक बिंदु से एक 20 m ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :- माना की BD भवन है और AD संचार मीनार=h है। माना कि C भूमि पर एक बिंदु है जहाँ संचार मीनार के तल D और शिखर A क्रमशः 45° और 60° का कोण बनाते हैं।
तब BD =20 m ;
ㄥDCB = 45° ;
ㄥACB = 60°
और AB=20+h
अब समकोण △ACB में,
tan 45°=BD/BC
⇒ 1 =20/BC
⇒ BC=20 m
फिर समकोण △DCB में,
tan60°=AB/BC ;
⇒√3 =(20+h)/20
⇒20√3 =20+h
⇒h =20√3-20
⇒h =20(√3-1) m
अतः संचार मीनार की ऊँचाई = 20(√3-1) m Ans......
Q.8 एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 m ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि एक बिंदु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी बिंदु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है।पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:- माना कि पेडस्टल(BD) की ऊँचाई= h m
दिया गया है कि पेडस्टल के ऊपर रखी मूर्ति (AD) की ऊँचाई =1.6 m
तब AB= AD + BD
=1.6 m + h m
=(1.6 + h) m
अब चूँकि भूमि के बिंदु C से मूर्ति के शिखर (A) का उन्नयन कोण = 60°
इसीलिए ㄥACB = 60°
फिर,चूँकि मूर्ति के बिंदु C से पेडस्टल के शिखर (D) का उन्नयन कोण = 45°
इसीलिए ㄥDCB = 45°
माना BC =x m
अब समकोण त्रिभुज ABC में,जहाँ ㄥB = 90°
tan60°=AB/BC
⇒ √3 = (1.6 + h)/x
⇒ √3 x = (1.6 + h)
⇒ x = (1.6 + h)/√3 ......... (i)
फिर समकोण त्रिभुज DBC में ,जहाँ कोण B = 90°
tan45°=BD/BC
⇒ 1 = h /x
⇒ x= h ........ (ii)
अब समीकरण (i) तथा (ii) से , हम पाते है कि
h =(1.6 + h)/√3
⇒√3 h =1.6 +h
⇒√3 h =1.6 +h
⇒√3h - h =1.6
⇒(√3 -1) h =1.6
⇒ h =1.6/(√3 -1)
⇒ h =1.6(√3+1)/(√3 -1)(√3+1)
⇒ h =1.6(√3+1)/(√3)^2 -(1)^2
⇒ h =1.6(√3+1)/(3-1)
⇒ h =1.6(√3+1)/2
⇒ h =0.8(√3+1)
अतः पेडस्टल की ऊँचाई =0.8(√3+1) m Ans......
