10th Class exercise 1.1 in Hindi
Exercise 1.1 Class 10 Maths
Exercise 1.1 Class 10 Maths in Hindi
Prashnavali 1.1 Class 10
Exercise 1.2 Class 10 Maths in Hindi
वास्तविक संख्याएँ कक्षा 10 Pdf
Class 10 Maths Chapter 1 in Hindi Medium
प्रश्नावली 1.1 का तीसरा सवाल
1 निम्नलिखित संख्याओं का HCF कीजिए i 135 और 225
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से 92690, 7378 और 7161 का hcf ज्ञात कीजिए।
निम्नलिखित संख्याओं का वर्ग ज्ञात कीजिए
196 और 38220 का एचसीएफ ज्ञात कीजिए
(iii) 867 और 255
निम्नलिखित संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए
उदहारण 1- 4052 और 12576 का HCF यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके ज्ञात कीजिये।
हल:- चरण 1 : माना कि a=12576 और b=4052 दो धनात्मक पूर्णांक है,जहाँ a > b है।
अब यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
12576 = 4052 × 3 + 420
∵ यहाँ 420 ≠ 0, अतः 4052 को 420 से भाग देना होगा।
चरण 2 : माना कि c =4052और d =4052 दो धनात्मक पूर्णांक है,जहाँ c > d है।
अब यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
4052 = 420 × 9 + 272
∵ यहाँ 272 ≠ 0, अतः 420 को 272 से भाग देना होगा।
चरण 3 : माना कि e=420 और f=272 दो धनात्मक पूर्णांक है,जहाँ e > f है।
अब यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
420 = 272 × 1 + 148
∵ यहाँ 148 ≠ 0, अतः 272 को 148 से भाग देना होगा।
चरण 4 : माना कि g=272 और h=148 दो धनात्मक पूर्णांक है,जहाँ g > h है।
अब यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
272 = 148 ×1 + 124
∵ यहाँ 124 ≠ 0, अतः 148 को 124 से भाग देना होगा।
चरण 5 : माना कि i =148 और j=124 दो धनात्मक पूर्णांक है,जहाँ i >j है।
अब यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
148 = 124 ×1 + 24
∵ यहाँ 24 ≠ 0, अतः 124को 24 से भाग देना होगा।
चरण 6 : माना कि k =124 और l=24 दो धनात्मक पूर्णांक है,जहाँ k >l है।
अब यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
124 = 24 ×5 + 4
∵ यहाँ 4 ≠ 0, अतः 24 को 4 से भाग देना होगा।
चरण 7 : माना कि m =24 और n=4 दो धनात्मक पूर्णांक है,जहाँ m >nहै।
अब यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
24 = 4 ×6 + 0
∵ यहाँ 0 = 0, अतः 4052 और 12576 का HCF, 4 है।
उदहारण 2 - दर्शाइए कि प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक 2q के रूप का होता है तथा प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक 2q+1 के रूप का होता है,जहाँ q कोई पूर्णांक है।
हल :- माना कि a कोई धनात्मक पूर्णांक है।
और माना कि b=2 ,[b =2 इसीलिए माने हैं क्योंकि दी गई संख्याओं का रूप 2q और 2q+1 है।]
अब यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
a=bq +r
=2q+r ,जहाँ q कोई अऋणात्मक पूर्णांक है और r एक पूर्ण संख्या इस प्रकार है कि 0≤r＜2 ,यहाँ r का संभावित मान 0,1 हैं।
जब r=0 , तब a =2q
जब r =1 ,तब a =2q +1
अतः a =2q धनात्मक सम पूर्णांक है तथा a =2q+1 धनात्मक विषम पूर्णांक है ,जहाँ q कोई अऋणात्मक पूर्णांक है।
Q.3 दर्शाइए कि एक धनात्मक विषम पूर्णांक 4q+1 या 4q+3 के रूप का होता है जहाँ q एक पूर्णांक है।
हल :- माना कि a कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है।
और माना कि b=4 ,[यहाँ b=4 इसीलिए माने हैं कि दी हुई संख्याओं का रूप 4q+1 या 4q+3 है।]
अब यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
a=bq +r , 0 ≤r<b
a=4q +r ,0 ≤r<4
यहाँ q → एक अऋणात्मक पूर्णांक है।
r → एक पूर्ण संख्या है,जहाँ 0 ≤r<4
अतः r =0,1,2,3
जब r=0 , तब a=4q +0 =4q → धनात्मक सम पूर्णांक
जब r=1 , तब a=4q +1 → धनात्मक विषम पूर्णांक
जब r=2 , तब a=4q +2 → धनात्मक सम पूर्णांक
जब r=3 , तब a=4q +3 → धनात्मक विषम पूर्णांक
∵ 4q और 4q+2 धनात्मक सम पूर्णांक है और a धनात्मक विषम पूर्णांक है।इसीलिए a का मान 4q या 4q+2 संभव नहीं है।]
अतः a= 4q+1 या 4q+3 एक धनात्मक विषम पूर्णांक का रूप है और जहाँ q कोई अऋणात्मक पूर्णांक है।
उदहारण-4 एक मिठाई-बिक्रेता के पास काजू एवं बादाम की क्रमशः 420 और 130 बर्फियाँ हैं। वह इनकी ऐसी ढेरियाँ बनाना चाहता है कि प्रत्येक ढेरी में बर्फियों की संख्या समान रहे तथा ये ढेरियाँ थाल में न्यूनतम स्थान छेके। प्रत्येक ढेरी में इस तरह कितनी बर्फियाँ रखी जा सकती हैं ?
हल-(Click here)
प्रश्नावली -1.1
Q.1 निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए :
(i) 135 और 225 (ii) 196 और 38220 (iii) 867 और 255
हल :- (i) माना कि a=225
तथा b = 135 ,जहाँ a > b
अब यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
a = bq +r , 0 ≤r<b
चरण-1 : 225 = 135×1+90 , 0 ≤90<135
∵ यहाँ 90 ≠ 0, अतः 135 और 90 के लिए यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग अगले चरण में करेंगे।
चरण-2 : 135 = 90×1+45 , 0 ≤45 <90
∵ यहाँ 45 ≠ 0, अतः 90 और 45 के लिए यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग अगले चरण में करेंगे।
चरण-2 : 90 = 45×2 +0 , 0 ≤0 <45
यहाँ शेषफल =0 आ गया है इसीलिए इसके आगे यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका नहीं लगाएंग।
अतः 225 और 135 का HCF 45 होगा।
(ii) माना कि a=38220
तथा b = 196 ,जहाँ a > b
अब यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
a = bq +r , 0 ≤r<b
चरण-1 :38220 = 196×195+ 0 , 0 ≤0<196
∵ यहाँ शेषफल =0 आ गया है इसीलिए इसके आगे यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका नहीं लगाएंग।
अतः 38220 और 196 का HCF 196 ही होगा।
(iii) माना कि a=867
तथा b = 255 ,जहाँ a > b
अब यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
a = bq +r , 0 ≤r<b
चरण-1 : 867 = 255 ×3+102 , 0 ≤102<255
∵ यहाँ 102 ≠ 0, अतः 255 और 102 के लिए यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग अगले चरण में करेंगे।
चरण-2 : 255 = 102×2+ 51 , 0 ≤51 <102
∵ यहाँ 51 ≠ 0, अतः 102 और 51 के लिए यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग अगले चरण में करेंगे।
चरण-2 : 102 =51×2 +0 , 0 ≤0 <51
यहाँ शेषफल =0 आ गया है इसीलिए इसके आगे यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका नहीं लगाएंग।
अतः 867 और 255 का HCF 51 होगा। Ans....
Q.2 दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1,या 6q+3 ,या 6q+5, के रूप का होता है ,जहाँ q कोई पूर्णांक है।
हल :- माना कि a कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है।
और माना कि b=6 ,[यहाँ b=6 इसीलिए माने हैं कि दी हुई संख्याओं का रूप 6q+1,या 6q+3 ,या 6q+5 है।]
अब यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
a=bq +r , 0 ≤r<b
a=6q +r ,0 ≤r<6
यहाँ q → एक अऋणात्मक पूर्णांक है।
r → एक पूर्ण संख्या है,जहाँ 0 ≤r<4
अतः r =0,1,2,3,4,5
जब r=0 , तब a=6q +0 =4q → धनात्मक सम पूर्णांक
जब r=1 , तब a=6q +1 → धनात्मक विषम पूर्णांक
जब r=2 , तब a=6q +2 → धनात्मक सम पूर्णांक
जब r=3 , तब a=6q +3 → धनात्मक विषम पूर्णांक
जब r=4 , तब a=6q +4 → धनात्मक सम पूर्णांक
जब r=5 , तब a=6q +5 → धनात्मक विषम पूर्णांक
∵ 6q और 6q+2,6q+4 धनात्मक सम पूर्णांक है और a धनात्मक विषम पूर्णांक है।इसीलिए a का मान 6q या 6q+2 ,6q+4 संभव नहीं है।]
अतः a= 6q+1,या 6q+3,या 6q+5 एक धनात्मक विषम पूर्णांक का रूप है और जहाँ q कोई अऋणात्मक पूर्णांक है।
Q.4 (click here )
