त्रिभुज की किन्ही दो भुजाओं का योग सदैव तीसरी भुजा से बड़ा होता है। सिद्ध कीजिए।

 The sum of any two sides of a triangle is greater than the third side. 

हल:- दिया है △ABC 

सिद्ध करना है:

AB+AC>BC

AB+BC>AC

और BC+AC>AB

बनावट: भुजा BA को बढ़ाया तथा AC=AD बनाया। CD को मिलाया।

प्रमाण: △ACD में, AC=AD (बनावट से) 

∴ ㄥ2=ㄥ1 (समान भुजाओं के सम्मुख कोण) 

∴ ㄥ2+ ㄥ3 >ㄥ1 ;

या,ㄥBCD>ㄥ1

अब △BDC में, 

∴ㄥBCD>ㄥ1

∴BD>BC (बड़े कोण की सम्मुख भुजा)....... (i) 

लेकिन BD=BA+AD

=AB+AC  (∵AD=AC) ........ (ii) 

(i) और (ii) से, AB+AC>BC

इसी प्रकार हम साबित कर सकते हैं कि

AB+BC> AC

और BC+AC>AB 

यही साबित करना था ।

Q. (उपप्रमेय) एक दी हुई रेखा पर एक बिन्दु से जो इस रेखा पर स्थित नहीं है, डाले गये सभी रेखाखंडों में लाम्बिक रेखाखंड सबसे छोटा होता है।

(Of all the line segments that can be drawn to a given line.from a point not lying on it, the perpendicular line segment is the shortest.) 

हल:-दिया है:- l एक रेखा है और P एक बिन्दु है जो l पर स्थित नहीं है। PM⊥l तथा Q रेखा l पर M से भिन्न कोई बिन्दु हैं।

सिद्ध करना है : PM<PQ 

प्रमाण: △PMQ में,

 ㄥM=90° (दिया है) 

ㄥQ= एक न्युनकोण (त्रिभुज का कोण योग गुण) 

∴ ㄥM>ㄥQ

अतः PQ>PM (बड़े कोण की सम्मुख भुजा) 

या PM<PQ

यही साबित करना था ।